Công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ và những bài tập ví dụ dễ hiểu

Trong cuộc sống hằng ngày, chúng ta thường bắt gặp những vật thể có hình trụ ở mọi nơi. Để tính toán lượng vật liệu cần thiết cho việc sản xuất hoặc xây dựng những vật thể này, ta cần đến một công thức toán học đặc biệt, đó là công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ. Vậy công thức này cụ thể là gì và cách áp dụng nó như thế nào?

Công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ là gì?

Hiểu về hình trụ

Hình trụ là một hình khối cơ bản trong hình học không gian (3D). Nó được định hình bởi hai đường tròn bằng nhau và song song với nhau, gọi là hai đáy, cùng với một mặt cong bao quanh được gọi là mặt trụ. Hình trụ còn được xem như là hình tròn xoay, sinh ra khi ta quay một hình chữ nhật quanh một cạnh của nó.

Hai đáy của hình trụ có đường kính bằng nhau và tâm của chúng nằm trên một đường thẳng vuông góc với các mặt đáy, đường thẳng này gọi là trục. Mặt xung quanh của hình trụ là một hình chữ nhật khi trải phẳng ra và các cạnh bên của hình chữ nhật này chính là các đường sinh. Các đường này có độ dài bằng nhau và song song với trục của hình trụ.

Để dễ dàng nhận biết một hình trụ, bạn có thể dựa vào các đặc điểm sau:

• Có hai mặt đáy hình tròn bằng và song song nhau.
• Các đường sinh có độ dài bằng nhau và song song với trục của hình trụ.
• Trục của hình trụ vuông góc với các mặt đáy và đi qua tâm của hai đường tròn đáy.

Hình trụ xuất hiện rất nhiều trong cuộc sống hằng ngày của chúng ta, từ những vật dụng đơn giản như lon nước, ống hút cho đến các công trình kiến trúc phức tạp.

Công thức tính

Diện tích xung quanh của hình trụ là phần diện tích bao bọc bên ngoài, giống như lớp vỏ của một chiếc hộp hình trụ. Đồng thời diện tích này sẽ không bao gồm phần diện tích của hai đáy hình tròn.

Để tính toán diện tích xung quanh, ta sẽ hình dung việc trải phẳng phần mặt xung quanh ra thành một hình chữ nhật. Chiều dài của hình chữ nhật này chính là chu vi của đường tròn đáy (bằng 2πr) và chiều rộng chính là chiều cao của hình trụ.

Công thức tính diện tích xung quanh hình trụ được biểu diễn như sau:

Sxq = 2πrh

Trong đó:

• Sxq: Diện tích xung quanh.
• π: Số Pi (xấp xỉ bằng 3,14).
• r: Bán kính đáy của hình trụ.
• h: Chiều cao của hình trụ.

Cách xác định các thông số bán kính hình tròn

Trong các bài toán hình học, đặc biệt là khi áp dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ, việc xác định chính xác bán kính hình tròn (r) là vô cùng quan trọng. Có 3 cách phổ biến để tìm bán kính hình tròn là:

a, Dựa vào đường kính:

Đường kính hình tròn (d) là đoạn thẳng nối hai điểm nằm trên đường tròn và đi qua tâm, đường kính gấp đôi bán kính, từ đó ta có công thức:

r = d/2

b, Dựa vào diện tích:

Biết công thức tính diện tích hình tròn là S = πr², qua đó ta có thể suy ra:

r = √(S/π)

c, Dựa vào chu vi:

Nếu áp dụng công thức tính chu vi hình tròn C = 2πr, bạn có thể tìm được bán kính:

r = C/(2π)

Bài toán minh họa diện tích xung quanh của hình trụ

Để hiểu rõ hơn về công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ và cách áp dụng vào các bài toán thực tế, bạn có thể tham khảo một số dạng bài sau:

Ví dụ 1

Đề bài: Một chiếc ống bê tông hình trụ có bán kính đáy là 4cm và chiều cao là 5cm.

a) Tính chu vi đường tròn đáy.

b) Tính diện tích xung quanh hình trụ.

Giải:

a) Theo đề bài ta có r = 4cm.

Để tính chu vi đường tròn đáy, ta sử dụng công thức: S = 2πr. Biết: π ≈ 3,14.

Vậy chu vi đường tròn đáy của ống kim loại là: S = 2 x 3,14 x 4 = 25,12 (cm).

b) Có công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ là: Sxq = 2πrh.

⇔ Sxq = S đường tròn đáy x h = 25,12 x 5 = 125,6 (cm²).

Ví dụ 2

Đề bài: Một chiếc ống nhựa hình trụ được sử dụng để dẫn nước. Ống nhựa này có đường kính đáy là 20cm và chiều cao là 15cm. Vậy diện tích mà người thợ cần sơn toàn bộ mặt ngoài của ống nước (không tính hai đáy) là bao nhiêu?

Giải:

Để tính diện tích cần sơn mặt ngoài, chúng ta cần áp dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ này: Sxq = 2πrh.

Trong đó: r = d/2 = 20/2 = 10 (cm).

Diện tích mà người thợ cần sơn toàn bộ mặt ngoài của ống nước (không tính hai đáy) là:

Sxq = 2 x 3,14 x 10 x 15 = 942 (cm²).

Ví dụ 3

Đề bài: Một chiếc ống kim loại hình trụ có Sxq bằng 552,64cm². Biết bán kính đáy của ống là 8cm. Hãy tính chiều cao của ống kim loại này.

Giải:

Dựa vào đề bài ta có: Sxq = 552,64cm², r = 8cm, π ≈ 3,14.

Áp dụng vào công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ, ta có:

Sxq = 2πrh => h= Sxq/(2πr).

⇔ h = 552,64/(2 x 3,14 x 8) = 11 (cm).

Ví dụ 4

Đề bài: Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng 1/5 chiều cao. Nếu cắt hình trụ này bằng một mặt phẳng đi qua trục thì mặt cắt sẽ có hình chữ nhật với diện tích là 90cm². Yêu cầu tính diện tích xung quanh hình trụ đó.

Giải:

Phân tích đề bài: Khi cắt hình trụ bằng một mặt phẳng đi qua trục, ta sẽ được một hình chữ nhật. Vì vậy, diện tích hình chữ nhật này chính là tích của chiều cao và đường kính hình tròn mặt đáy. Để có thể áp dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ, chúng ta cần tìm được độ dài bán kính đáy và chiều cao của hình.

Gọi:

• r: Bán kính đáy của hình trụ.
• h: Chiều cao của hình trụ.
• S: Diện tích hình chữ nhật (mặt cắt hình chữ nhật).

Theo đề bài, ta có:

• Bán kính bằng 1/5 chiều cao: r = h/5
• Diện tích hình chữ nhật (mặt cắt): S = h x 2r = 90cm²

Thay r = h/5 vào công thức tính diện tích hình chữ nhật, ta được:

h x 2(h/5) = 90

⇔ h x (h/5) = 90/2

⇔ h²/5 = 45

⇔ h = 15 (cm)

Với r = h/5 => r = 15/5 = 3 (cm)

Diện tích xung quanh của hình trụ là: Sxq = 2πrh = 2 x 3,14 x 3 x 15 = 282,6 (cm²).

Ví dụ 5

Đề bài: Một hình trụ có chiều cao h và bán kính r, trường hợp cùng lúc tăng chiều cao và giảm bán kính đáy 2 lần thì:

A. Thể tích vẫn giữ nguyên 
B. Diện tích xung quanh giữ nguyên 
C. Chu vi đáy hình trụ giữ nguyên
D. Diện tích toàn phần giữ nguyên

Giải:

Ta có công thức: Sxq = 2πrh

Áp dụng vào bài toán:

• Diện tích xung quanh ban đầu: Sxq1 = 2πrh
• Diện tích xung quanh mới: Sxq2 = 2π(r/2)(2h) = 2πrh

Có thể thấy diện tích xung quanh của hình trụ không thay đổi khi cùng lúc tăng chiều cao lên 2 lần và giảm bán kính đáy đi 2 lần.

Đáp án đúng là: B. Diện tích xung quanh giữ nguyên.

Một số bài toán tự ôn tập

Để nâng cao khả năng tính toán khi áp dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ, bạn có thể tự luyện tập qua các bài giải dưới đây:

Câu 1: Một hình trụ có bán kính đáy là 3cm và chiều cao là 10cm. Diện tích xung quanh của hình trụ đó là bao nhiêu? (Đáp án: 188,4cm²)

Câu 2: Một chiếc cốc hình trụ có đường kính đáy bằng 8cm và chiều cao bằng 12cm. Tính diện tích giấy cần thiết để dán xung quanh chiếc cốc đó (không tính phần mép dán). (Đáp án: 301,44cm²)

Câu 3: Một hình trụ có diện tích xung quanh là 1884cm² và chiều cao là 30cm. Hãy xác định bán kính đáy của hình trụ. (Đáp án: Bán kính đáy ≈ 10cm)

Câu 4: Một thùng nước hình trụ có thể tích là 157 lít. Biết chiều cao của thùng là 1m. Tính diện tích xung quanh bên trong của thùng nước. (Đáp án: 3,14m²)

Câu 5: Một ống khói hình trụ có đường kính đáy là 1,2m và chiều cao là 20m. Tính diện tích cần sơn để sơn toàn bộ ống khói (không tính đáy). (Đáp án: 75,36m²)

Câu 6: Một quả bóng tennis có dạng hình cầu, khi đặt quả bóng vào trong một chiếc hộp hình trụ vừa khít thì thấy chiều cao của hình trụ bằng đường kính quả bóng. Biết diện tích xung quanh của hình trụ là 125,6cm². Tính bán kính của quả bóng (Gợi ý: Đường kính quả bóng bằng chiều cao hình trụ). (Đáp án: Bán kính quả bóng ≈ 5cm)

Tạm kết

Công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ là một công cụ hữu ích giúp chúng ta giải quyết nhiều bài toán thực tế. Qua bài viết này, hi vọng bạn đã nắm vững lý thuyết và có thể tự tin áp dụng vào các bài tập của mình.

Bạn là học sinh và đang tìm kiếm một chiếc máy tính xách tay để chinh phục những bài tập khó? Laptop Dell với cấu hình mạnh mẽ, màn hình sắc nét và thiết kế bền bỉ sẽ giúp bạn làm việc hiệu quả, học tập tốt hơn và khám phá thế giới kiến thức một cách thú vị. Đến ngay FPT Shop để trải nghiệm và sở hữu chiếc laptop ưng ý nhé! 

Xem thêm:

• Công thức tính thể tích hình trụ: Giải thích chi tiết, ví dụ minh họa và ứng dụng thực tế trong đời sống
• Công thức tính diện tích toàn phần của hình trụ là gì? Ôn tập Toán học cùng FPT Shop